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P4304 [TJOI2013]攻击装置

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P4304 [TJOI2013]攻击装置

二分图最小点覆盖：对于一条边至少选择一个点。

二分图最大独立集：对于一条边只能选择一个点。

几点性质：

  • 最小点覆盖 = 最大匹配（换一种方式理解：中间连接 $inf$ 的边，对于一条边要么将左部割掉，要么将右部割掉）
  • 最大独立集 = 总点数 - 最小点覆盖 = 总点数 - 最大匹配（换一种方式理解：中间连接 $inf$ 的边，对于一条边只能将左部割掉，或只能将右部割掉）
  • 求方案，做完最大匹配后，从源点开始搜索，经过所有还有可以有流量的边，将访问过的点标记。这样，每次标记的右部点都是有匹配的，否则会存在增广路。对于最小点覆盖，选择左部中没有访问过的点和右部中访问过的点（对于左部没有被匹配的点 $x$ 不选，选择 $x$ 所有出边 $y$ ，对于所有 $y$ 的匹配 $z$ 不选 ，对于 $z$ 的出边不选 ……这样一对匹配只选择了一个）；对于最大独立集，选择左部中访问过的点和右部中没有访问过的点（先选出左部没有被匹配的点 $x$ ，对于所有出边 $y$ 不选，选择所有 $y$ 的匹配 $z$，对于所有 $z$ 的出边不选……这样一对匹配只有一个点没有被选）。

这类问题通常先做二分图的染色（保证这是一个二分图）。

常见的四连通、日字形八连通染色后都是棋盘状的。所有的点 (x, y) ， x + y & 1 的属于一部，剩下的属于另一部，这样可以跳过染色步骤。

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#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <climits>
#define INF INT_MAX
using namespace std;
const int N = 4e4 + 10, M = 1e8 + 10;
int dx[8] = { 1, 1, -1, -1, 2, 2, -2, -2 },
    dy[8] = { 2, -2, 2, -2, 1, -1, 1, -1 };
bool vis[N];
int n, st, ed, tot, d[N], cur[N];
int idx = -1, hd[N], nxt[M], edg[M], wt[M];
bool bfs()
{
    for (int i = st; i <= ed; i++)
        d[i] = -1;
    d[st] = 0;
    cur[st] = hd[st];
    queue <int> q;
    q.push(st);
    while (!q.empty())
    {
        int t = q.front();
        q.pop();
        for (int i = hd[t]; ~i; i = nxt[i])
            if (d[edg[i]] == -1 && wt[i])
            {
                cur[edg[i]] = hd[edg[i]];
                d[edg[i]] = d[t] + 1;
                if (edg[i] == ed)
                    return true;
                q.push(edg[i]);
            }
    }
    return false;
}
int find(int x, int limit)
{
    if (x == ed)
        return limit;
    int res = 0;
    for (int i = cur[x]; ~i && res < limit; i = nxt[i])
    {
        cur[x] = i;
        if (d[edg[i]] == d[x] + 1 && wt[i])
        {
            int t = find(edg[i], min(wt[i], limit - res));
            if (!t)
                d[edg[i]] = -1;
            wt[i] -= t;
            wt[i ^ 1] += t;
            res += t;
        }
    }
    return res;
}
int dinic()
{
    int res = 0, flow;
    while (bfs())
        while (flow = find(st, INF))
            res += flow;
    return res;
}
void add (int x, int y, int z)
{
    nxt[++idx] = hd[x];
    hd[x] = idx;
    edg[idx] = y;
    wt[idx] = z;
}
bool inside (int x, int y)
{
    return x > 0 && y > 0 && x <= n && y <= n;
}
int num (int x, int y)
{
    return (x - 1) * n + y;
}
int main ()
{
    char a;
    cin >> n;
    tot = n * n;
    st = 0;
    ed = tot + 1;
    for (int i = st; i <= ed; i++)
        hd[i] = -1;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= n; j++)
        {
            int t = num(i, j);
            cin >> a;
            if (a == '1')
            {
                vis[t] = true;
                tot--;
                continue;
            }
            if (i + j & 1)
            {
                add(st, t, 1);
                add(t, st, 0);
            for (int k = 0; k < 8; k++)
            {
                int nx = i + dx[k],
                    ny = j + dy[k];
                int h = num(nx, ny);
                if (!inside(nx, ny) || vis[h])
                    continue;
                add(t, h, INF);
                add(h, t, 0);
            }
            }
            else
            {
                add(t, ed, 1);
                add(ed, t, 0);
            }
        }
    cout << tot - dinic();
    return 0;
}
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