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LCA模板

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本文字数： 5.8k 阅读时长 ≈ 5 分钟
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求LCA。

目录

Algorithm I 树上倍增

思想：按照 $2$ 的次幂的层数跳。

复杂度：$O(n \log n + T \log n)$ 。常数较大，洛谷模板 $5.67s$ 。以下是经过预处理 $log$ 优化常数的版本。

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#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <climits>
#define INF INT_MAX
using namespace std;
const int N = 5e5 + 10, M = 1e6 + 10;
int n, q, st, d[N], lg[N], fa[N][20];
int idx = -1, hd[N], nxt[M], edg[M];
void bfs()
{
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        d[i] = INF;
    d[st] = 1;
    queue<int> q;
    q.push(st);
    while (!q.empty())
    {
        int t = q.front();
        q.pop();
        for (int i = hd[t]; ~i; i = nxt[i])
            if (d[t] + 1 < d[edg[i]])
            {
                d[edg[i]] = d[t] + 1;
                q.push(edg[i]);
                fa[edg[i]][0] = t;
                for (int k = 1; (1 << k) <= d[edg[i]]; k++)
                    fa[edg[i]][k] = fa[fa[edg[i]][k - 1]][k - 1];
            }
    }
}
int lca(int x, int y)
{
    if (d[x] < d[y])
        swap(x, y);
    while (d[x] > d[y])
        x = fa[x][lg[d[x] - d[y]]];
    if (x == y)
        return x;
    for (int k = lg[d[x]]; k >= 0; k--)
        if (fa[x][k] != fa[y][k])
        {
            x = fa[x][k];
            y = fa[y][k];
        }
    return fa[x][0];
}
void add(int x, int y)
{
    nxt[++idx] = hd[x];
    hd[x] = idx;
    edg[idx] = y;
}
int main()
{
    cin >> n >> q >> st;
    for (int i = 2; i <= n; i++)
        lg[i] = lg[i >> 1] + 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        hd[i] = -1;
    for (int i = 1, a, b; i < n; i++)
    {
        cin >> a >> b;
        add(a, b);
        add(b, a);
    }
    bfs();
    for (int i = 1, a, b; i <= q; i++)
    {
        cin >> a >> b;
        cout << lca(a, b) << endl;
    }
    return 0;
}

Algorithm II 树链剖分

思想：将树剖成一条一条的链，一条链一条链地向上跳。

复杂度：$O(n + T \log n)$ 。常数极小，可拓展性极强，强烈推荐，洛谷模板 $1.57s$ 。

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#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 5e5 + 10, M = 1e6 + 10;
int n, m, rt, d[N], p[N];
int idx, hd[N], nxt[M], edg[M];
int stmp, sz[N], son[N], top[N];
void dfs1(int x)
{
    sz[x] = 1;
    son[x] = -1;
    for (int i = hd[x]; ~i; i = nxt[i])
        if (!d[edg[i]])
        {
            d[edg[i]] = d[x] + 1;
            p[edg[i]] = x;
            dfs1(edg[i]);
            sz[x] += sz[edg[i]];
            if (son[x] == -1 || sz[edg[i]] > sz[son[x]])
                son[x] = edg[i];
        }
}
void dfs2(int x, int t)
{
    top[x] = t;
    if (~son[x])
        dfs2(son[x], t);
    for (int i = hd[x]; ~i; i = nxt[i])
        if (edg[i] != son[x] && edg[i] != p[x])
            dfs2(edg[i], edg[i]);
}
int lca(int x, int y)
{
    while (top[x] != top[y])
    {
        if (d[top[x]] < d[top[y]])
            swap(x, y);
        x = p[top[x]];
    }
    if (d[x] > d[y])
        swap(x, y);
    return x;
}
void add(int a, int b)
{
    nxt[++idx] = hd[a];
    hd[a] = idx;
    edg[idx] = b;
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &rt);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        hd[i] = -1;
    for (int i = 1, a, b; i < n; i++)
    {
        scanf("%d%d", &a, &b);
        add(a, b);
        add(b, a);
    }
    d[rt] = 1;
    dfs1(rt);
    dfs2(rt, rt);
    for (int a, b; m; m--)
    {
        scanf("%d%d", &a, &b);
        printf("%d\n", lca(a, b));
    }
    return 0;
}

Algorithm III Tarjan

离线算法，基本没用，不讲。

复杂度：$O(n + T)$ 。

Algorithm IV ST表

参考资料：mydcwfy

遍历到一个点的时候加在序列末尾，记当前位置为 $id(x)$ ，然后它的一个子树走到另一个子树时，也要将 $x$ 加在序列末尾。

得到的序列可以证明不会超过 $2 n-1$ 。

从 $x$ 到 $y$ 需要从 $lca$ 的一个子树走到另一个子树，所以 $id(x)$ 到 $id(y)$ 之间一定有 $lca$ 。

那么中间深度最小的点就是 $lca$ ，可以用 ST表 维护。

复杂度： $O(n \log n + T)$ 。洛谷模板 $2.65s$ 。

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#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 5e5 + 10, M = 1e6 + 10, K = 20;
int n, q, rt, d[N];
int idx, hd[N], nxt[M], edg[M];
int stmp, id[N], st[N << 1][K], lg[N << 1];
void dfs(int x, int fa)
{
    st[++stmp][0] = x;
    d[x] = d[fa] + 1;
    id[x] = stmp;
    for (int i = hd[x]; ~i; i = nxt[i])
        if (edg[i] != fa)
        {
            dfs(edg[i], x);
            st[++stmp][0] = x;
        }
}
int dmin(int x, int y)
{
    return d[x] < d[y] ? x : y;
}
void init()
{
    for (int i = 2; i <= stmp; i++)
        lg[i] = lg[i >> 1] + 1;
    for (int k = 1; (1 << k) <= stmp; k++)
        for (int i = 1; i + (1 << k) - 1 <= stmp; i++)
            st[i][k] = dmin(st[i][k - 1], st[i + (1 << k - 1)][k - 1]);
}
int lca(int x, int y)
{
    x = id[x], y = id[y];
    if (x > y)
        swap(x, y);
    int k = lg[y - x + 1];
    return dmin(st[x][k], st[y - (1 << k) + 1][k]);
}
void add(int a, int b)
{
    nxt[++idx] = hd[a];
    hd[a] = idx;
    edg[idx] = b;
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &q, &rt);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        hd[i] = -1;
    for (int i = 1, a, b; i < n; i++)
    {
        scanf("%d%d", &a, &b);
        add(a, b);
        add(b, a);
    }
    dfs(rt, 0);
    init();
    for (int x, y; q; q--)
    {
        scanf("%d%d", &x, &y);
        printf("%d\n", lca(x, y));
    }
    return 0;
}
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