CF739E Gosha is hunting

Algorithm I 费用流

选择第一种球期望个数为 $p _ i$ ，选择第二种为 $u _ i$ ，同时选择为 $1 - (1 - p _ i) (1 - u _ i) = 1 - (1 - p _ i - u _ i + p _ i u _ i) = p _ i + u _ i - p _ i u _ i$ ，即在原来的答案上减少了 $p _ i u _ i$ ，由此可以构建处费用流模型。

源点向两种球连边，容量为球的个数；
两种球向所有的神奇宝贝连边，容量为 $1$ ，费用为 $p _ i$ 或 $u _ i$ ；
所有神奇宝贝向汇点连边，容量为 $1$ 费用为 $0$ ，表示只选择一种球则不需要减少费用；容量为 $1$ ，费用为 $-p _ i u _ i$ 表示如果多了一个容量需要减少费用。

查看代码

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;
const double eps = 1e-10;
const int N = 2e3 + 10, M = 2e4 + 10, inf = 1e5;
bool vis[N];
int n, st, ed, A, B, pre[N], incf[N];
double p1[N], p2[N], d[N], f[M];
int idx = -1, hd[N], nxt[M], edg[M], wt[M];
bool spfa()
{
    for (int i = st; i <= ed; i++)
        d[i] = -inf;
    d[st] = 0;
    for (int i = st; i <= ed; i++)
        incf[i] = 0;
    incf[st] = inf;
    queue<int> q;
    q.push(st);
    vis[st] = true;
    while (!q.empty())
    {
        int t = q.front();
        q.pop();
        vis[t] = false;
        for (int i = hd[t]; ~i; i = nxt[i])
            if (d[t] + f[i] > d[edg[i]] + eps && wt[i])
            {
                d[edg[i]] = d[t] + f[i];
                pre[edg[i]] = i;
                incf[edg[i]] = min(wt[i], incf[t]);
                if (!vis[edg[i]])
                {
                    q.push(edg[i]);
                    vis[edg[i]] = true;
                }
            }
    }
    return incf[ed] > 0;
}
double ek()
{
    double res = 0;
    while (spfa())
    {
        int t = incf[ed];
        res += t * d[ed];
        for (int i = ed; i != st; i = edg[pre[i] ^ 1])
        {
            wt[pre[i]] -= t;
            wt[pre[i] ^ 1] += t;
        }
    }
    return res;
}
void add(int a, int b, int c, double d)
{
    nxt[++idx] = hd[a];
    hd[a] = idx;
    edg[idx] = b;
    wt[idx] = c;
    f[idx] = d;
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &A, &B);
    st = 0, ed = n + 3;
    for (int i = st; i <= ed; i++)
        hd[i] = -1;
    add(st, n + 1, A, 0);
    add(n + 1, st, 0, 0);
    add(st, n + 2, B, 0);
    add(n + 2, st, 0, 0);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%lf", &p1[i]);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%lf", &p2[i]);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        add(n + 1, i, 1, p1[i]);
        add(i, n + 1, 0, -p1[i]);
        add(n + 2, i, 1, p2[i]);
        add(i, n + 2, 0, -p2[i]);
        add(i, ed, 1, 0);
        add(ed, i, 0, 0);
        add(i, ed, 1, -p1[i] * p2[i]);
        add(ed, i, 0, p1[i] * p2[i]);
    }
    printf("%lf", ek());
    return 0;
}

Algorithm II wqs二分

捕捉相同的神奇宝贝，使用的球越多，那么期望越大；但是增长速度却越慢。那么，这个函数满足凸性，可以使用凸优化，即 wqs二分 。

假设现在所有球可以随便用，那么此时期望值最大。如果我们减少球的权值，那么期望值相应减少。个数也不会无限了。我们需要二分一个恰当的减少的值，使得使用的个数和原来的相等时，凸函数函数值最大。

细节：最后答案应该用 $A$ 而不是 $cnta$ ，因为随着二分 $cnta$ 的值发生了改变。

查看代码

#include <cstdio>
using namespace std;
const int N = 2e3 + 10;
const double eps = 1e-8;
int n, A, B, cnta, cntb;
double ans, u[N], v[N], w[N];
void check(double a, double b)
{
    ans = cnta = cntb = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        double mx = 0;
        bool flaga = false, flagb = false;
        if (u[i] - a > mx + eps)
        {
            mx = u[i] - a;
            flaga = true, flagb = false;
        }
        if (v[i] - b > mx + eps)
        {
            mx = v[i] - b;
            flaga = false, flagb = true;
        }
        if (w[i] - a - b > mx + eps)
        {
            mx = w[i] - a - b;
            flaga = true, flagb = true;
        }
        ans += mx;
        cnta += flaga, cntb += flagb;
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &A, &B);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%lf", &u[i]);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%lf", &v[i]);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        w[i] = u[i] + v[i] - u[i] * v[i];
    double la = 0, ra = 1, resa, resb;
    while (la + eps < ra)
    {
        double mida = (la + ra) / 2;
        double lb = 0, rb = 1;
        while (lb + eps < rb)
        {
            double midb = (lb + rb) / 2;
            check(mida, midb);
            resb = midb;
            if (cntb == B)
                break;
            cntb < B ? rb = midb : lb = midb;
        }
        resa = mida;
        if (cnta == A)
            break;
        cnta < A ? ra = mida : la = mida;
    }
    printf("%lf", ans + A * resa + B * resb);
    return 0;
}

UPD: 凸性似乎确凿是假的，但是在CF这样的hack机制下可以过，也确实说明了一些题目看似有凸性的直接用 WQS 二分可以获得一个不错的分数。