斯坦纳树模板

求最小斯坦纳树。

问题要求一个子图，实际上答案一定是一棵树。

注意到 $k$ 比较小，考虑状压，$f _ {i, s}$ 表示当前树的根节点点为 $i$ ，已经连通了集合 $s$ 中的点，每次只从根上考虑。对于同一个根的两个集合，可以将其合并，即 $f _{i, s} = \min _ {t \subset s} f _ {i, t} + f _ {i, s - t}$ ；也可以任意添加一条与根相连的边，并改变根，即 $f _ {i, s} = \min _ {j} f _ {j, s} + w _ {i, j}$ 。考虑对于每一种状态，第一种转移可以枚举子集，第二种转移本质就是最短路。那么总复杂度为 $O(3 ^ k + 2 ^ k nm)$ 。

查看代码

#include <cstdio>
#include <queue>
using namespace std;
template <class Type>
void read (Type &x)
{
    char c;
    bool flag = false;
    while ((c = getchar()) < '0' || c > '9')
        c == '-' && (flag = true);
    x = c - '0';
    while ((c = getchar()) >= '0' && c <= '9')
        x = (x << 1) + (x << 3) + c - '0';
    flag && (x = ~x + 1);
}
template <class Type, class ...rest>
void read (Type &x, rest &...y) { read(x), read(y...); }
template <class Type>
void write (Type x)
{
    x < 0 && (putchar('-'), x = ~x + 1);
    x > 9 && (write(x / 10), 0);
    putchar('0' + x % 10);
}
const int N = 110, M = 1e3 + 10, K = 10, inf = 1e9;
bool vis[N];
int n, m, k, p[K], f[N][1 << K];
int idx, hd[N], nxt[M], edg[M], wt[M];
void add (int a, int b, int c)
{
    nxt[++idx] = hd[a];
    hd[a] = idx;
    edg[idx] = b;
    wt[idx] = c;
}
int main ()
{
    read(n, m, k);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) hd[i] = -1;
    for (int a, b, c; m; --m)
    {
        read(a, b, c);
        add(a, b, c), add(b, a, c);
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        for (int j = 0; j < 1 << k; ++j) f[i][j] = inf;
    for (int i = 0; i < k; ++i)
        read(p[i]), f[p[i]][1 << i] = 0;
    for (int s = 1; s < 1 << k; ++s)
    {
        queue <int> q;
        for (int i = 1; i <= n; ++i)
        {
            for (int t = s; t; --t &= s)
                f[i][s] = min(f[i][s], f[i][t] + f[i][s ^ t]);
            if (f[i][s] ^ inf) q.push(i);
        }
        while (!q.empty())
        {
            int t = q.front(); q.pop();
            vis[t] = false;
            for (int i = hd[t]; ~i; i = nxt[i])
                if (f[t][s] + wt[i] < f[edg[i]][s])
                {
                    f[edg[i]][s] = f[t][s] + wt[i];
                    if (!vis[edg[i]])
                    {
                        q.push(edg[i]);
                        vis[edg[i]] = true;
                    }
                }
        }
    }
    write(f[p[0]][(1 << k) - 1]);
    return 0;
}