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\begin {array}{c} \mathfrak {One Problem Is Difficult} \\\\ \mathfrak {Because You Don't Know} \\\\ \mathfrak {Why It Is Diffucult} \end {array}

树套树（树状数组套值域线段树）模板

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本文字数： 3k 阅读时长 ≈ 3 分钟
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也就是所谓的 “带修主席树” 。

考虑一般的主席树，维护一段前缀，即可实现在 $O(1)$ 个版本内做差得到实际答案，但是修改一个数就需要更改后面的 $O(n)$ 个版本。考虑将外面套一层数据结构，使得可以 $O(\log n)$ 更改一个数，$O(\log n)$ 查询一个数。这样每次修改即需要修改 $O(\log n)$ 个版本，查询也需要查询 $O(\log n)$ 个版本，时空复杂度 $O (\log ^ 2 n)$ 。

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#include <cstdio>
#include <vector>
using namespace std;
typedef long long LL;
template <class Type>
void read(Type &x)
{
    char c;
    bool flag = false;
    while ((c = getchar()) < '0' || c > '9')
        c == '-' && (flag = true);
    x = c - '0';
    while ((c = getchar()) >= '0' && c <= '9')
        x = (x << 3) + (x << 1) + c - '0';
    flag && (x = ~x + 1);
}
template <class Type>
void write(Type x)
{
    x < 0 && (putchar('-'), x = ~x + 1);
    x > 9 && (write(x / 10), 0);
    putchar(x % 10 + '0');
}
const int N = 1e5 + 10, M = 3e7 + 10;
int n, m, q, w[N];
struct Node
{
    int l, r, s;
} tr[M];
int idx, rt[N];
void insert (int &x, int t, int k, int l = 0, int r = 1e9)
{
    !x && (x = ++idx);
    tr[x].s += k;
    if (l == r)
        return;
    int mid = l + r >> 1;
    t <= mid ? insert(tr[x].l, t, k, l, mid) : insert(tr[x].r, t, k, mid + 1, r);
}
void modify (int x, int t, int k)
{
    for (; x <= n; x += x & -x)
        insert(rt[x], t, k);
}
int query (vector <int> &x, vector <int> &y, int k, int l = 0, int r = 1e9)
{
    if (l == r)
        return l;
    int s = 0;
    for (int i : x)
        s -= tr[tr[i].l].s;
    for (int i : y)
        s += tr[tr[i].l].s;
    int mid = l + r >> 1;
    if (k <= s)
    {
        for (int &i : x)
            i = tr[i].l;
        for (int &i : y)
            i = tr[i].l;
        return query(x, y, k, l, mid);
    }
    else
    {
        for (int &i : x)
            i = tr[i].r;
        for (int &i : y)
            i = tr[i].r;
        return query(x, y, k - s, mid + 1, r);
    }
}
int main ()
{
    read(n), read(q);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        read(w[i]);
        modify(i, w[i], 1);
    }
    for (char op[2]; q; q--)
    {
        scanf("%s", op);
        if (op[0] == 'C')
        {
            int t, k;
            read(t), read(k);
            modify(t, w[t], -1);
            modify(t, w[t] = k, 1);
        }
        else if (op[0] == 'Q')
        {
            int l, r, k;
            read(l), read(r), read(k);
            vector <int> x, y;
            for (l--; l; l -= l & -l)
                x.push_back(rt[l]);
            for (; r; r -= r & -r)
                y.push_back(rt[r]);
            write(query(x, y, k)), puts("");
        }
    }
    return 0;
}
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