LuoGu: SP3871 GCDEX - GCD Extreme
GCDEX - GCD Extreme
先计算：
$$
\begin{aligned}
f(n)
= & \sum_{x = 1} ^ n \sum_{y = 1} ^ n gcd(x, y) \\
= & \sum_{x = 1} ^ n \sum_{y = 1} ^ n \sum_{d | gcd(i, j)} \varphi (d) \\
= & \sum_{x = 1} ^ n \sum_{y = 1} ^ n \sum_{d | gcd(i, j)} \varphi(d) \\
= & \sum_{d = 1} ^ n \varphi (d) \left \lfloor \frac n d \right \rfloor ^ 2
\end{aligned}
$$
考虑删去重复的部分。首先是 $i = j$ 的情况，$gcd(i, i) = i$ ，因此这部分重复的有 $\displaystyle \sum _ {i = 1} ^ n i$ ，即 $n (n + 1) / 2$ ，对于剩下的部分，因为 $i$ 和 $j$ 可以交换，所以计算了两次，除以 $2$ 即可。
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| #include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1e6 + 10;
int n;
bool vis[N];
LL cnt, primes[N];
LL phi[N], s[N];
void init()
{
phi[1] = 1;
for (int i = 2; i < N; i++)
{
if (!vis[i])
{
primes[++cnt] = i;
phi[i] = i - 1;
}
for (int j = 1; j <= cnt && i * primes[j] < N; j++)
{
vis[i * primes[j]] = true;
if (i % primes[j] == 0)
{
phi[i * primes[j]] = phi[i] * primes[j];
break;
}
phi[i * primes[j]] = phi[i] * phi[primes[j]];
}
}
for (int i = 1; i < N; i++)
s[i] = s[i - 1] + phi[i];
}
int main()
{
init();
while (~scanf("%lld", &n))
{
if (!n)
break;
LL res = 0;
for (int l = 1, r; l <= n; l = r + 1)
{
r = n / (n / l);
res += (s[r] - s[l - 1]) * (LL)(n / l) * (LL)(n / l);
}
printf("%lld\n", (res - (LL)n * (n + 1) / 2) / 2);
}
return 0;
}
|