P3643 [APIO2016] 划艇

P3643 [APIO2016] 划艇

设 $f_{i,j}$ 表示最后一个选择了第 $i$ 个学校，值为 $j$ 。那么有转移方程：

$$f_{i,j}=\sum _{t<i}\sum _{s<j}{f}_{t,s}$$

发现 $j$ 值域很大，考虑将其离散化，那么共有不超过 $2n$ 个区间。注意到转移中关于 $j$ 的顺序，记录一个位置 $<j$ 的前缀和。依此枚举每个区间，考虑第 $i$ 个点从第 $j$ 点的转移， 但是考虑到中间有一些点也包含了这个区间，那么考虑加上这些点会产生什么样的影响，这些点可以选择或者不选择，如果要选择的话，那么与当前点构成一个单增子序列，考虑这个序列的种数。。那么设 $[b+1,a]$ 中有 $c$ 个包含该区间，区间大小为 $l$ ，那么即在 $0,0,\dots ,0(c\mathrm{个}),1,2,\dots ,l$ 选择 $c$ 个数，即 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{c+l-1}{c})$ ，（当前这个一定要选，所以减一个），可以预处理出来。

查看代码

#include <cstdio>
#include <vector>
#include <algorithm>
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
using namespace std;
template <class Type>
void read (Type &x)
{
    char c;
    bool flag = false;
    while ((c = getchar()) < '0' || c > '9')
        c == '-' && (flag = true);
    x = c - '0';
    while ((c = getchar()) >= '0' && c <= '9')
        x = (x << 1) + (x << 3) + c - '0';
    flag && (x = ~x + 1);
}
template <class Type, class ...rest>
void read (Type &x, rest &...y) { read(x), read(y...); }
template <class Type>
void write (Type x)
{
    x < 0 && (putchar('-'), x = ~x + 1);
    x > 9 && (write(x / 10), 0);
    putchar('0' + x % 10);
}
typedef long long LL;
typedef pair <int, int> PII;
const int N = 510, mod = 1e9 + 7;
PII p[N];
int n, m, C[N], f[N], inv[N];
void init ()
{
    inv[1] = 1;
    for (int i = 2; i < N; ++i)
        inv[i] = -(LL)(mod / i) * inv[mod % i] % mod;
}
int main ()
{
    init();
    read(n);
    vector <int> ws;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        read(p[i].fi, p[i].se);
        ws.pb(p[i].fi), ws.pb(++p[i].se);
    }
    sort(ws.begin(), ws.end());
    m = ws.erase(unique(ws.begin(), ws.end()), ws.end()) - ws.begin();
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        p[i].fi = lower_bound(ws.begin(), ws.end(), p[i].fi) - ws.begin();
        p[i].se = lower_bound(ws.begin(), ws.end(), p[i].se) - ws.begin();
    }
    f[0] = 1;
    for (int i = 1; i < m; ++i)
    {
        C[0] = 1;
        for (int j = 1, t = ws[i] - ws[i - 1]; j <= n; ++j, ++t)
            C[j] = (LL)C[j - 1] * t % mod * inv[j] % mod;
        for (int j = n; j; --j)
            if (p[j].fi <= i - 1 && p[j].se >= i)
            {
                int s = 0, c = 1;
                for (int k = j - 1; ~k; --k)
                {
                    s = (s + (LL)C[c] * f[k]) % mod;
                    if (p[k].fi <= i - 1 && p[k].se >= i) ++c;
                }
                f[j] = (f[j] + s) % mod;
            }
    }
    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        res = (res + f[i]) % mod;
    write((res + mod) % mod);
    return 0;
}