P2158 [SDOI2008] 仪仗队
好像可以直接推导用 $\varphi$ 做的，当时好像也是这么做的，现在直接莫反。
除去 $(1, 0)$ 和 $(0, 1)$ 两点，剩下的点数中，如果横纵坐标不互质，那么一定有一个坐标把它挡住，故答案为：
$$
\begin{aligned}
&\sum _ {i = 1} ^ {n - 1} \sum _ {j = 1} ^ {n - 1}[gcd(i, j) = 1]\\
=& \sum _ {i = 1} ^ {n - 1} \sum _ {j = 1} ^ {n - 1} \sum _ {d | gcd(i, j)} \mu (d)\\
=& \sum _ {i = 1} ^ {n - 1} \sum _ {j = 1} ^ {n - 1} \sum _ {d | i \wedge d | j} \mu (d)\\
=& \sum _ {d = 1} ^ {n - 1} \mu (d) \sum _ {i = 1} ^ {n - 1} [d |i] \sum _ {i = 1} ^ {n - 1} [d |j]\\
=& \sum _ {d = 1} ^ {n - 1} \mu (d) \left \lfloor \frac {n - 1} d\right \rfloor ^ 2\\
\end{aligned}
$$
再 $+2$ 即可。
注意特判 $n = 1$ ，答案为 $0$ 。
可以数论分块。
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| #include <cstdio>
using namespace std;
const int N = 4e4 + 10;
int n;
bool vis[N];
int cnt, primes[N], mu[N], smu[N];
void init ()
{
mu[1] = 1;
for (int i = 2; i < N; i++)
{
if (!vis[i])
{
primes[++cnt] = i;
mu[i] = -1;
}
for (int j = 1; j <= cnt && i * primes[j] < N; j++)
{
vis[i * primes[j]] = true;
if (i % primes[j] == 0)
{
mu[i * primes[j]] = 0;
break;
}
mu[i * primes[j]] = -mu[i];
}
}
for (int i = 1; i < N; i++)
smu[i] = smu[i - 1] + mu[i];
}
int main ()
{
init();
scanf("%d", &n);
n--;
if (!n)
{
puts("0");
return 0;
}
int res = 0;
for (int l = 1, r; l <= n; l = r + 1)
{
r = n / (n / l);
res += (smu[r] - smu[l - 1]) * (n / l) * (n / l);
}
printf("%d", res + 2);
return 0;
}
|